Nivel: Intro · Matemáticas · Necesitas: ecuaciones de primer grado con una incógnita
Respuesta corta: un sistema 2×2 son dos ecuaciones con dos incógnitas (suele ser x e y) que deben cumplirse a la vez. El método de sustitución consiste en despejar una variable en una ecuación y reemplazarla en la otra. Ejemplo: x + y = 10 y x − y = 2 → solución (6, 4).
Una sola ecuación con dos letras no fija un único par (x, y): hay infinitas parejas que suman 10. La segunda ecuación «elige» cuál pareja sirve. Aquí verás el esquema de sustitución, una tabla de variantes, ejercicios con respuesta oculta y los errores al sustituir mal el signo o olvidar comprobar en ambas ecuaciones.
Qué es un sistema y cuándo hay solución única
Escribes el sistema así:
x + y = 10
x − y = 2Buscas el par (x, y) que hace verdaderas las dos líneas. Gráficamente, cada ecuación es una recta; la solución es el punto de corte. Algebraicamente, con sustitución no necesitas dibujar.
| Situación | Qué pasa | Señal algebraica típica |
|---|---|---|
| Solución única | Un solo par (x, y) | Al sustituir queda una ecuación de primer grado con una incógnita |
| Sin solución | Rectas paralelas | Llegas a 0 = 5 (contradicción) |
| Infinitas soluciones | Misma recta dos veces | Llegas a 0 = 0 (identidad) |
En este tutorial nos concentramos en el caso de solución única, el más frecuente en los primeros ejercicios.
Sustitución en cuatro movimientos
| Paso | Qué haces | En el ejemplo x+y=10, x−y=2 |
|---|---|---|
| 1. Despejar | Elige la variable más fácil | De la 1ª: x = 10 − y |
| 2. Sustituir | Reemplaza en la otra ecuación | (10 − y) − y = 2 |
| 3. Resolver | Ecuación con una letra | 10 − 2y = 2 → −2y = −8 → y = 4 |
| 4. Volver | Halla la otra variable y comprueba | x = 10 − 4 = 6; verifica en x − y = 2 |
Comprobación obligatoria: 6 + 4 = 10 y 6 − 4 = 2. Si una falla, el error está en el despeje o en la aritmética, no «en el método».
Variantes: cuál variable despejar
| Sistema | Despeje cómodo | Por qué |
|---|---|---|
| y = 2x + 1; x + y = 7 | Usa la 1ª tal cual | y ya está despejada |
| 2x + y = 9; x − y = 0 | y = x desde la 2ª | Coeficiente ±1 |
| 3x + 2y = 12; x = 2 | Sustituye x = 2 de una vez | Una variable ya conocida |
Ejemplo guiado: y = 2x + 1 y x + y = 7. Sustituye: x + (2x + 1) = 7 → 3x + 1 = 7 → 3x = 6 → x = 2. Luego y = 2(2) + 1 = 5. Par: (2, 5). Comprueba: 2 + 5 = 7.
Practica: 6 sistemas con solución
Resuélvelos en un cuaderno antes de abrir la respuesta. Comprueba siempre en las dos ecuaciones.
1. x + y = 8; x − y = 2. ¿(x, y)?
De la 1ª: x = 8 − y. Sustituye: (8 − y) − y = 2 → 8 − 2y = 2 → y = 3; x = 5. (5, 3).
2. y = 3x; x + y = 12.
x + 3x = 12 → 4x = 12 → x = 3; y = 9. (3, 9).
3. 2x + y = 10; y = 4.
2x + 4 = 10 → 2x = 6 → x = 3. (3, 4).
4. x − y = 1; 2x + y = 8.
De la 1ª: x = y + 1. Sustituye: 2(y + 1) + y = 8 → 2y + 2 + y = 8 → 3y = 6 → y = 2; x = 3. (3, 2).
5. Entradas: «2 adultos y 1 niño = 50; 1 adulto y 1 niño = 30». ¿Precio de cada uno?
2a + n = 50; a + n = 30. De la 2ª: n = 30 − a. Sustituye: 2a + (30 − a) = 50 → a + 30 = 50 → a = 20; n = 10. Adulto 20, niño 10.
6. x + 2y = 9; x = 3.
3 + 2y = 9 → 2y = 6 → y = 3. (3, 3).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Sustituir solo en un término: si x = 10 − y, en x − y = 2 debes escribir (10 − y) − y, no 10 − y − y a medias olvidando paréntesis mentales.
- Cambiar el signo al despejar: de x + y = 10, x = 10 − y (no 10 + y).
- Comprobar en una sola ecuación: el par puede cumplir la primera y fallar la segunda. Siempre las dos.
- Intercambiar x e y al final: anota (x, y) = (…, …) con etiquetas; en el ejemplo ancla es (6, 4), no (4, 6).
Para madres, padres y docentes: actividad de 5 minutos
Propón: «Tengo 10 caramelos entre dos bolsas; en la A hay 2 más que en la B». Es x + y = 10 y x = y + 2. Con sustitución: (y + 2) + y = 10 → y = 4, x = 6. Luego cambia el enunciado a «la misma cantidad en ambas» (x = y) y vean cómo cambia el par. En cinco minutos se ve por qué hacen falta dos condiciones.
Para seguir: con sistemas lineales ya manejas dos condiciones a la vez; el siguiente tema de la escalera es probabilidad: medir qué tan posible es un resultado entre varios.
