Nivel: Básico · Matemáticas · Necesitas: sumar, restar, multiplicar y dividir con enteros
Regla: una ecuación de primer grado con una incógnita tiene la forma ax + b = c (o equivalente). La solución es el valor de x que hace verdadera la igualdad. Idea de balanza: lo que haces a un lado, lo haces al otro. Ejemplo: 2x + 3 = 11 → 2x = 8 → x = 4.
Resolver ecuaciones es deshacer operaciones en orden inverso hasta dejar la x sola. Aquí verás la forma canónica, una tabla de «movimientos» permitidos, seis problemas de dificultad creciente y la trampa de cambiar de lado sin cambiar el signo. En cada uno: datos → aislar el término con x → despejar → sustituir para comprobar.
Formas y movimientos permitidos
| Forma | Ejemplo | Primer movimiento típico |
|---|---|---|
| x + a = b | x + 5 = 12 | Restar 5 a ambos lados → x = 7 |
| x − a = b | x − 4 = 9 | Sumar 4 a ambos lados → x = 13 |
| ax = b | 3x = 15 | Dividir ambos lados por 3 → x = 5 |
| ax + b = c | 2x + 3 = 11 | Restar 3, luego dividir por 2 |
| a(x + b) = c | 2(x + 1) = 10 | Dividir por 2 o distribuir 2 |
Unidades: si el enunciado habla de pesos, años o metros, la x hereda esa unidad. La ecuación en sí es adimensional en el papel; el sentido lo da el problema.
Problemas resueltos
1. Solo suma
Datos: x + 7 = 15.
Cálculo: resta 7 a ambos lados: x = 15 − 7 = 8.
¿Tiene sentido? 8 + 7 = 15. Sí.
2. Solo multiplicación
Datos: 5x = 40.
Cálculo: divide ambos lados por 5: x = 40 ÷ 5 = 8.
¿Tiene sentido? 5 × 8 = 40. Cierra.
3. Dos pasos: ax + b = c
Datos: 2x + 3 = 11.
Cálculo: resta 3 → 2x = 8. Divide por 2 → x = 4.
¿Tiene sentido? 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11. Perfecto.
4. Paréntesis
Datos: 3(x − 2) = 18.
Cálculo: divide ambos lados por 3 → x − 2 = 6. Suma 2 → x = 8. Alternativa: distribuye 3x − 6 = 18 → 3x = 24 → x = 8.
¿Tiene sentido? 3(8 − 2) = 3 × 6 = 18.
5. Incógnita a ambos lados
Datos: 4x + 1 = 2x + 9.
Cálculo: resta 2x a ambos lados → 2x + 1 = 9. Resta 1 → 2x = 8. Divide → x = 4.
¿Tiene sentido? Izquierda: 4(4)+1 = 17. Derecha: 2(4)+9 = 17. Iguales.
6. Problema de enunciado
Datos: «El triple de un número, menos 5, da 16. ¿Qué número es?»
Cálculo: 3x − 5 = 16 → 3x = 21 → x = 7.
¿Tiene sentido? 3×7 − 5 = 21 − 5 = 16.
Problema-trampa: pasar un término sin cambiar el signo
Ana tiene 2x + 5 = 17 y escribe 2x = 17 + 5 = 22, luego x = 11. Incorrecto. Al pasar el +5 al otro lado debe restarse: 2x = 17 − 5 = 12 → x = 6. Comprobación: 2(6)+5 = 17. La trampa es memorizar «pasar al otro lado» sin recordar que suma ↔ resta y producto ↔ cociente.
Orden al deshacer operaciones
Piensa en la x envuelta en capas: primero sumas/restas «por fuera», luego multiplicaciones/divisiones. En 2x + 3 = 11, la última operación que se aplicó a la x fue sumar 3; por eso restas 3 antes de dividir por 2. Si inviertes el orden (divides todo entre 2 primero sin cuidado), puedes terminar con fracciones innecesarias o errores de signo.
Atajo mental: despejar = pelar la cebolla desde afuera. Cada capa es una operación inversa hecha en ambos lados de la balanza.
Mini-aplicación: ticket o edad
Inventa: «Pagué 3 entradas y me cobraron 45; cada una costó lo mismo. ¿Cuánto cada una?» → 3x = 45 → x = 15. O: «En 4 años tendré 18; ¿cuántos tengo?» → x + 4 = 18 → x = 14. Comprueba sustituyendo. Dos ecuaciones reales al día fijan el hábito.
Ejercicios con solución
1. Resuelve x − 9 = 4.
x = 4 + 9 = 13.
2. Resuelve 4x = 28.
x = 7.
3. Resuelve 3x + 2 = 17.
3x = 15 → x = 5. Comprueba: 15 + 2 = 17.
4. Resuelve 5(x + 1) = 30.
x + 1 = 6 → x = 5.
5. Resuelve 6x − 2 = 3x + 10.
6x − 3x = 10 + 2 → 3x = 12 → x = 4.
Para seguir: cuando una ecuación con una x te salga fluido, el siguiente nivel es sistemas 2×2: dos ecuaciones, dos incógnitas, con sustitución básica.
