Nivel: Básico · Matemáticas · Necesitas: potencias con exponente 2 y la idea de área de un cuadrado
Regla: la raíz cuadrada de un número a (se escribe √a) es el lado de un cuadrado cuya área es a. En símbolos: si b² = a, entonces √a = b (tomamos la raíz no negativa). Ejemplo: √36 = 6 porque 6 × 6 = 36.
Después de potencias como 6² = 36, la raíz cuadrada es la operación «hacia atrás»: te dan el área y buscas el lado. Aquí resuelves problemas concretos —√9, √100, áreas de canteros y la trampa de confundir √ con ÷2— y compruebas siempre elevando al cuadrado. Método en cada uno: datos → estimar entre cuadrados perfectos → calcular → comprobar con b².
Formas de la misma idea
| Escritura | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| √a = b | b × b = a | √49 = 7 |
| b² = a | potencia que «deshace» la raíz | 7² = 49 |
| √(b²) = b | con b ≥ 0, raíz y cuadrado se anulan | √(5²) = 5 |
| área = lado × lado | versión geométrica | lado 4 → área 16 → √16 = 4 |
Unidades: si el área está en cm², el lado (la raíz) queda en cm. No «mezcles» √16 m² con un resultado en metros sin mirar: √16 = 4, y la unidad del lado es la raíz de la unidad del área (√m² = m).
Cuadrados perfectos que conviene memorizar: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Si te piden √50, ya sabes que está entre 7 y 8 porque 49 < 50 < 64.
Problemas resueltos
1. Raíz exacta pequeña
Datos: ¿cuánto es √9?
Cálculo: buscas un número que, al multiplicarse por sí mismo, dé 9. 3 × 3 = 9 → √9 = 3.
¿Tiene sentido? 3² = 9. Cierra.
2. El clásico √36
Datos: un patio cuadrado tiene 36 m². ¿Cuánto mide cada lado?
Cálculo: lado = √36. Como 6 × 6 = 36, el lado es 6 m.
¿Tiene sentido? Un cuadrado de 6 m de lado tiene área 36 m². Exacto.
3. √100 y la potencia de 10
Datos: ¿√100?
Cálculo: 10 × 10 = 100 → √100 = 10. También: 100 = 10², así que la raíz «quita» el exponente 2.
¿Tiene sentido? Sí; no confundas con √1000 (que no es 10).
4. Estimar una raíz no entera
Datos: √50 está entre… ¿qué enteros?
Cálculo: 7² = 49 y 8² = 64. Como 49 < 50 < 64, √50 está entre 7 y 8, muy cerca de 7 (porque 50 − 49 = 1).
¿Tiene sentido? No digas «√50 = 25» (eso sería ÷2). La estimación entre cuadrados perfectos evita ese error.
5. Área → lado → comprobar
Datos: un azulejo cuadrado mide 81 cm². ¿Lado?
Cálculo: √81: 9 × 9 = 81 → lado 9 cm. Comprobación: 9² = 81 cm².
¿Tiene sentido? Un azulejo de 9 cm de lado es razonable; 81 cm de lado sería enorme para un solo azulejo.
6. Raíz de un producto (cuando conviene)
Datos: √(4 × 9) sin calculadora.
Cálculo: √(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6. O bien 4 × 9 = 36 y √36 = 6. Mismo resultado.
¿Tiene sentido? Solo funciona así con productos (y cocientes positivos). No inventes √(a + b) = √a + √b: √(9+16) = √25 = 5, pero √9 + √16 = 3 + 4 = 7 ≠ 5.
Problema-trampa: confundir √a con a÷2
Luis ve √36 y contesta 18 «porque la mitad de 36 es 18». Incorrecto. La mitad es una división; la raíz pide el número que multiplicado por sí mismo da 36. Correcto: 6, y la prueba es 6 × 6 = 36, no 18 × 18 (que da 324). La trampa aparece sobre todo con pares grandes: √100 ≠ 50.
Mini-aplicación: medir un cuadrado en casa
Elige un marco, baldosa o tapa cuadrada. Mide un lado en cm. Calcula lado × lado y anota el área. Luego «invierte»: parte del área y pide √área; debe recuperar el lado (si mediste bien). Esa ida y vuelta fija la definición mejor que diez ejercicios abstractos.
Ejercicios con solución
1. ¿Cuánto es √16? Comprueba elevando al cuadrado.
√16 = 4 porque 4² = 16.
2. Un cuadrado tiene área 64 m². ¿Lado?
√64 = 8 m.
3. ¿Entre qué enteros está √30?
Entre 5 y 6 (25 < 30 < 36).
4. ¿√(25 × 4)?
√25 × √4 = 5 × 2 = 10 (o √100 = 10).
5. ¿Por qué √81 no puede ser 40,5?
Porque 40,5 × 40,5 es mucho mayor que 81; 9 × 9 = 81. Dividir entre 2 no es sacar raíz.
Para seguir: cuando la idea de «lado del cuadrado» te salga natural, el siguiente tema útil es MCD y MCM: máximos y mínimos comunes para fracciones y problemas de ciclos.
